Definición
La paradoja de Russell fue descubierta por Bertrand Russell en junio de 1901 mientras estudiaba los fundamentos lógicos de la aritmética expuestos por Gottlob Frege en la primera parte de los Grundgesetze der Arithmetik (1893). Russell comunicó el hallazgo a Frege en una carta fechada el 16 de junio de 1902, cuando este se hallaba a punto de publicar el segundo tomo de los Grundgesetze; la carta puso en crisis el programa logicista fregeano y forzó al autor a añadir un apéndice reconociendo la ruina de su sistema. La paradoja surge dentro de la teoría ingenua de conjuntos que asumía sin restricciones el axioma de comprensión no restringido: para toda propiedad definible existe el conjunto de todos los objetos que satisfacen esa propiedad. Considérese entonces la propiedad no ser miembro de sí mismo. Los conjuntos ordinarios —por ejemplo, el conjunto de todos los caballos, que no es un caballo— cumplen esta propiedad; pocos conjuntos no la cumplen. Sea R el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como elemento; la pregunta R pertenece a R? conduce a una contradicción inmediata: si R pertenece a R, entonces por definición R no pertenece a R; y si R no pertenece a R, entonces satisface la propiedad definitoria y por tanto R pertenece a R. La paradoja mostró que la teoría de conjuntos ingenua es inconsistente y desató una crisis en los fundamentos de la matemática. Russell propuso su propia solución mediante la teoría de tipos ramificados, expuesta en los Principia Mathematica (1910-1913, con Alfred North Whitehead), que estratifica los objetos matemáticos en niveles jerárquicos donde un conjunto de tipo n solo puede tener como elementos objetos de tipo n-1, prohibiendo así la autopertenencia. Alternativamente, la axiomatización Zermelo-Fraenkel restringe el axioma de comprensión, y Willard Van Orman Quine propondría en su sistema NF una vía distinta. La paradoja marca el surgimiento de la lógica matemática moderna.